Conceptos de funciones trascendentales

1. Definición:
2. Funciones que no son algebraicas (no satisfacen una ecuación polinómica).

3. Incluyen: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas y sus inversas.

4. Funciones Exponenciales:

5. Forma: \( f(x) = a^x \) con \( a > 0 \), \( a \neq 1 \).
6. Base natural: \( e^x \) (donde \( e \approx 2.71828 \)).

7. Propiedad clave: \( a^{x+y} = a^x \cdot a^y \).

8. Funciones Logarítmicas:

9. Inversas de las exponenciales: \( y = \log_a(x) \Leftrightarrow a^y = x \).
10. Logaritmo natural: \( \ln(x) \) (base \( e \)).

11. Propiedades: \( \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \), \( \log_a(x^p) = p \cdot \log_a(x) \).

12. Funciones Trigonométricas:

13. Principales: \( \sin(x) \), \( \cos(x) \), \( \tan(x) \).
14. Periodicidad: \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \) tienen período \( 2\pi \); \( \tan(x) \) tiene período \( \pi \).

15. Identidades: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), \( 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) \).

16. Funciones Trigonométricas Inversas:

17. \( \arcsin(x) \): dominio \( [-1, 1] \), rango \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \).
18. \( \arccos(x) \): dominio \( [-1, 1] \), rango \( [0, \pi] \).

19. \( \arctan(x) \): dominio \( \mathbb{R} \), rango \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \).

20. Funciones Hiperbólicas:

21. \( \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \), \( \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \), \( \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \).

22. Identidad: \( \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \).

23. Funciones Hiperbólicas Inversas:

24. \( \text{arsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \).
25. \( \text{arcosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \) para \( x \geq 1 \).

26. \( \text{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \) para \( |x| < 1 \).

27. Crecimiento y Comportamiento:

28. Las exponenciales crecen más rápido que cualquier polinomio.

29. Las logarítmicas crecen más lentamente que cualquier polinomio.

30. Derivadas Básicas:

31. \( \frac{d}{dx} e^x = e^x \), \( \frac{d}{dx} \ln|x| = \frac{1}{x} \).
32. \( \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \), \( \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) \).

33. \( \frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x) \).

34. Integrales Básicas:

    • \( \int e^x \, dx = e^x + C \), \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \).
    • \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \), \( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \).

35. Series de Taylor (Expansiones):

    • \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \).
    • \( \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \).
    • \( \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \).

36. Aplicaciones Comunes:

    • Modelado de crecimiento poblacional (exponencial).
    • Decaimiento radiactivo (exponencial).
    • Oscilaciones y ondas (trigonométricas).
    • Escalas logarítmicas (pH, decibelios).