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Función Integral
\(\sin u\) \(D_x \sin u = \cos u \cdot D_x u\)
\(\cos u\) \(D_x \cos u = -\sin u \cdot D_x u\)
\(\tan u\) \(D_x \tan u = \sec^2 u \cdot D_x u\)
\(\cot u\) \(D_x \cot u = -\csc^2 u \cdot D_x u\)
\(\sec u\) \(D_x \sec u = \sec u \tan u \cdot D_x u\)
\(\csc u\) \(D_x \csc u = -\csc u \cot u \cdot D_x u\)
\(\sin^2 u\) \(D_x \sin^2 u = \sin 2u \cdot D_x u\)
\(\cos^2 u\) \(D_x \cos^2 u = -\sin 2u \cdot D_x u\)
\(\tan^2 u\) \(D_x \tan^2 u = 2\tan u \sec^2 u \cdot D_x u\)
\(\sin^3 u\) \(D_x \sin^3 u = 3\sin^2 u \cos u \cdot D_x u\)
\(\cos^3 u\) \(D_x \cos^3 u = -3\cos^2 u \sin u \cdot D_x u\)
Forma Integral Caso Especial
\(\int \sin u \, du\) \(-\cos u + C\)
\(\int \cos u \, du\) \(\sin u + C\)
\(\int \tan u \, du\) \(\ln \|\sec u\| + C\)
\(\int \cot u \, du\) \(ln \|\sin u\| + C\)
\(\int \sec u \, du\) \(\ln \|\sec u + \tan u\| + C\)
\(\int \csc u \, du\) \(\ln \|\csc u - \cot u\| + C\)
\(\int \sin^2 u \, du\) \(\frac{u}{2} - \frac{\sin 2u}{4} + C\) \(\int_0^{\pi/2} \sin^2 u \, du = \frac{\pi}{4}\)
\(\int \cos^2 u \, du\) \(\frac{u}{2} + \frac{\sin 2u}{4} + C\) \(\int_0^{\pi/2} \cos^2 u \, du = \frac{\pi}{4}\)
\(\int \tan^2 u \, du\) \(\tan u - u + C\)
\(\int \cot^2 u \, du\) \(-\cot u - u + C\)
\(\int \sin^3 u \, du\) \(-\cos u + \frac{\cos^3 u}{3} + C\) \(\int \sin^n u \, du = -\frac{\sin^{n-1} u \cos u}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} u \, du\)
\(\int \cos^3 u \, du\) \(\sin u - \frac{\sin^3 u}{3} + C\)
\(\int \sec^3 u \, du\) \(\frac{1}{2} (\sec u \tan u + \ln \|\sec u + \tan u\|) + C\) Integral notable
\(\int \sin mx \cos nx \, du\) \(-\frac{\cos((m-n)u)}{2(m-n)} - \frac{\cos((m+n)u)}{2(m+n)} + C\) Producto a suma
$$
\begin{align*}
\int \sin^2x\,dx &= \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \
\int \cos^2x\,dx &= \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \
\int \sec x\,dx &= \ln \sec x + \tan x + C \
\int \sec^3x\,dx &= \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln \sec x + \tan x + C \
\int \sin^2x\,dx &= \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \
\int \cos^2x\,dx &= \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \
\int \sin^4x\,dx &= \frac{3x}{8} - \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C \
\int \cos^4x\,dx &= \frac{3x}{8} + \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C \
\int \sin^5x\,dx &= -\frac{1}{5} \cos x + \frac{1}{15} \cos^3 x - \frac{1}{5} \cos x \sin^2 x + C \
\int \cos^5x\,dx &= \frac{1}{5} \sin x - \frac{1}{15} \sin^3 x + \frac{1}{5} \sin x \cos^2 x + C \
\int \sec x\,dx &= \ln \sec x + \tan x + C \
\int \sec^3x\,dx &= \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln \sec x + \tan x + C \
\int \sec^5x\,dx &= \frac{1}{4} \sec x \tan x (\sec^2 x + 1) + \frac{1}{8} \ln \sec x + \tan x + C \
\int \tan^2x\,dx &= \tan x - x + C \
\int \tan^4x\,dx &= \frac{1}{3} \tan^3 x - \tan x + x + C \
\end{align*}
$$
#### 3. Identidades Clave Ampliadas
Pitagóricas:
$$
\boxed{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \quad \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta \quad \cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta}
$$

Ángulo Doble/Triple: $$ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \quad \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta $$ $$ \sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta \quad \cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta $$

Suma-Producto: $$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $$ $$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $$

Semiángulo: $$ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \quad \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} $$

4. Límites Notables

\[ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \quad \lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1 \quad \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos u}{u^2} = \frac{1}{2} $$ $$ \lim_{u \to \infty} u \sin\left(\frac{1}{u}\right) = 1 \quad \lim_{u \to 0} \frac{\arcsin u}{u} = 1 \]

5. Fracciones Parciales y División

División Polinomial: $$ \frac{x^3 + 2x^2 - 5}{x^2 - 1} = x + 2 + \frac{2x - 3}{x^2 - 1} $$

Fracciones Parciales: $$ \frac{5x-1}{(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3} \implies A=3,\ B=2 $$ $$ \frac{3x^2+2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2} $$

Caso Trigonométrico: $$ \int \frac{\sin x}{\cos x (1 + \cos^2 x)} dx = \int \left( \frac{A}{\cos x} + \frac{B \cos x}{1 + \cos^2 x} \right) dx $$

6. Teoremas Especiales

Teorema del Binomio Trigonométrico: $$ (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta \quad \text{(De Moivre)} $$

Fórmulas de Euler Generalizadas: $$ \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} $$ $$ \cosh x = \cos ix \quad \sinh x = -i \sin ix $$

7. Sustituciones Universales

Para integrales racionales de \(\sin x\) y \(\cos x\): $$ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \implies \sin x = \frac{2t}{1+t^2},\ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\ dx = \frac{2\,dt}{1+t^2} $$

Relaciones Integrales-Derivadas

![[Pasted image 20250604224842.png]]

8. Tabla Resumen: Integrales Notables

Función Integral Técnica
\(\int \sin ax \cos bx \, dx\) \(-\frac{\cos((a-b)x)}{2(a-b)} - \frac{\cos((a+b)x)}{2(a+b)} + C\) Producto a suma
\(\int \tan^n x \sec^m x \, dx\) Casos: \(m\) par, \(n\) impar, ambos Reducción
\(\int \frac{dx}{a^2 + x^2}\) \(\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\) Forma arco
\(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) \(\arcsin\frac{x}{a} + C\) Sustitución trigonométrica
\(\int \frac{dx}{x^2 - a^2}\) \(\frac{1}{2a} \ln \left\| \frac{x-a}{x+a} \right\| + C\) Fracciones parciales

9. Técnicas de Integración Avanzadas

Integración por Partes: $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du \quad \text{(Elección: } u = \text{LIATE)} $$ Ejemplo: $$ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C $$

Sustitución Trigonométrica:

Caso Sustitución Identidad Ejemplo
$\(\sqrt{a^2 - x^2}\)$ \(x = a \sin \theta\) \(1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta\) \(\int \sqrt{4 - x^2} \, dx\)
\(\sqrt{a^2 + x^2}\) \(x = a \tan \theta\) \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}}\)
\(\sqrt{x^2 - a^2}\) \(x = a \sec \theta\) \(\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta\) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 4}}\)

10. Fórmulas de Recursión

\[ \int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx $$ $$ \int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx $$ $$ \int \tan^n x \, dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - \int \tan^{n-2} x \, dx \]

TODO historial de cambios, marco teorico, graficos.

Guía Paso a Paso para Resolver la Integral: ∫ e²ˣ cos(5x) dx

Objetivo:
Resolver la integral indefinida ∫ e²ˣ cos(5x) dx utilizando el método de integración por partes (dos veces) y despejando la integral original.

Paso 1: Identificar las Partes para Integración por Partes

La fórmula de integración por partes es:

∫ u dv = uv − ∫ v du

Para aplicar esto, elegimos:
- u = cos(5x) → du = −5 sen(5x) dx
- dv = e²ˣ dx → v = ½ e²ˣ (integral de e²ˣ)

Nota: El argumento del coseno es 5x, por lo que su derivada incluye un factor de 5 (regla de la cadena).

Paso 2: Aplicar la Primera Integración por Partes

Sustituyendo en la fórmula:
∫ e²ˣ cos(5x) dx = uv − ∫ v du
= ½ e²ˣ cos(5x) − ∫ ½ e²ˣ (−5 sen(5x)) dx
= ½ e²ˣ cos(5x) + (5/2) ∫ e²ˣ sen(5x) dx

Resultado Parcial:
∫ e²ˣ cos(5x) dx = ½ e²ˣ cos(5x) + (5/2) ∫ e²ˣ sen(5x) dx

Paso 3: Segunda Integración por Partes (para ∫ e²ˣ sen(5x) dx)

Ahora resolvemos la nueva integral ∫ e²ˣ sen(5x) dx:
- u = sen(5x) → du = 5 cos(5x) dx
- dv = e²ˣ dx → v = ½ e²ˣ

Aplicando la fórmula:
∫ e²ˣ sen(5x) dx = ½ e²ˣ sen(5x) − ∫ ½ e²ˣ (5 cos(5x)) dx
= ½ e²ˣ sen(5x) − (5/2) ∫ e²ˣ cos(5x) dx

Nota: ¡Aparece nuevamente la integral original ∫ e²ˣ cos(5x) dx!

Paso 4: Sustituir en el Resultado Parcial

Reemplazamos el resultado del Paso 3 en el Paso 2:
∫ e²ˣ cos(5x) dx = ½ e²ˣ cos(5x) + (5/2) [½ e²ˣ sen(5x) − (5/2) ∫ e²ˣ cos(5x) dx]

Simplificamos:
= ½ e²ˣ cos(5x) + (5/4) e²ˣ sen(5x) − (25/4) ∫ e²ˣ cos(5x) dx

Paso 5: Agrupar la Integral Original

Sumamos (25/4) ∫ e²ˣ cos(5x) dx a ambos lados:
∫ e²ˣ cos(5x) dx + (25/4) ∫ e²ˣ cos(5x) dx = ½ e²ˣ cos(5x) + (5/4) e²ˣ sen(5x)

Factor común:
$$ (1 + 25/4) ∫ e²ˣ cos(5x) dx = (29/4) ∫ e²ˣ cos(5x) dx = \space lado \space derecho.
$$

Paso 6: Despejar la Integral Original

Multiplicamos ambos lados por 4/29 para despejar:
∫ e²ˣ cos(5x) dx = (4/29) [½ e²ˣ cos(5x) + (5/4) e²ˣ sen(5x)] + C

Simplificamos:
= (2/29) e²ˣ cos(5x) + (5/29) e²ˣ sen(5x) + C

Factor común e²ˣ:
= e²ˣ/29 [2 cos(5x) + 5 sen(5x)] + C

Respuesta Final:

\[ \boxed{ \int e^{2x} \cos(5x) \, dx = \frac{e^{2x}}{29} \left(2 \cos(5x) + 5 \sin(5x)\right) + C } \]

Verificación Opcional:
Deriva el resultado para confirmar que obtienes el integrando original.

Nota: El factor 5x en el argumento trigonométrico afecta la derivada (generando multiplicadores de 5), pero se compensa algebraicamente al despejar.

Guía Ampliada de Cálculo Integral: Series, Convergencia y Límites

1. Fundamentos de Límites y Continuidad

1.1. Definición Formal de Límite

Para una función \(f(x)\), el límite cuando \(x\) tiende a \(a\) es \(L\) si: $\(\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon\)$

1.2. Propiedades de Límites

Propiedad Fórmula
Linealidad \(\lim_{x \to a} [cf(x) ± g(x)] = c\lim f(x) ± \lim g(x)\)
Producto \(\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)\)
Cociente \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\) si \(\lim g(x) \neq 0\)

1.3. Continuidad

\(f\) es continua en \(x = a\) si: 1. \(f(a)\) existe 2. \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe 3. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Visualización de continuidad vs discontinuidad
x = np.linspace(-2, 2, 400)
f_continua = x**2
f_discontinua = np.where(x < 0, x**2, x**2 + 1)

plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, f_continua, 'b-', linewidth=2)
plt.title('Función Continua: $f(x) = x^2$')
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, f_discontinua, 'r-', linewidth=2)
plt.title('Función Discontinua en $x=0$')
plt.grid(True)
plt.show()

2. Teoría de Series y Convergencia

2.1. Definiciones Fundamentales

  • Sucesión: Lista ordenada \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)
  • Serie: Suma infinita \(\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + \cdots\)
  • Suma parcial: \(S_k = \sum_{n=1}^k a_n\)

2.2. Criterio del Término General

Teorema: Si \(\sum a_n\) converge \(\implies \lim_{n \to \infty} a_n = 0\)

Contraejemplo: \(\sum \frac{1}{n}\) diverge aunque \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)

2.3. Series Notables

Tipo Serie Converge si Suma
Geométrica \(\sum ar^n\) \(\|r\| < 1\) \(\frac{a}{1-r}\)
p-Series \(\sum \frac{1}{n^p}\) \(p > 1\) -
Armónica \(\sum \frac{1}{n}\) Nunca - 
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# Convergencia de series geométricas
n_terms = 20
r_values = [0.5, 1.0, 1.5]
partial_sums = np.zeros((len(r_values), n_terms))

for i, r in enumerate(r_values):
    for n in range(1, n_terms + 1):
        partial_sums[i, n-1] = sum(r**k for k in range(n))

plt.figure(figsize=(10, 6))
for i, r in enumerate(r_values):
    plt.plot(range(1, n_terms + 1), partial_sums[i], 'o-', 
             label=f'$r = {r}$', markersize=4)

plt.axhline(y=2, color='red', linestyle='--', label='Límite $r=0.5$')
plt.xlabel('Número de términos')
plt.ylabel('Suma parcial')
plt.title('Convergencia de Series Geométricas')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

3. Criterios de Convergencia para Series

3.1. Criterio de la Integral

Teorema: Si \(f\) es continua, positiva y decreciente para \(x \geq 1\), entonces: $\(\sum_{n=1}^\infty f(n) \text{ converge} \iff \int_1^\infty f(x)dx \text{ converge}\)$

3.2. Criterios de Comparación

Criterio Condición Conclusión
Comparación directa \(0 \leq a_n \leq b_n\) Si \(\sum b_n\) conv \(\implies \sum a_n\) conv
Comparación en el límite \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L > 0\) Ambas convergen o ambas divergen

3.3. Criterio de la Razón y la Raíz

  • Razón: \(L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)
  • Raíz: \(L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\)

Convergencia: \(L < 1\), Divergencia: \(L > 1\), Indeterminado: \(L = 1\)

4. Integrales Impropias

4.1. Tipos de Integrales Impropias

Tipo Definición Converge si
Límite infinito \(\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)dx\) Límite existe
Discontinuidad \(\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x)dx + \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x)dx\) Ambos límites existen

4.2. Criterio de Comparación para Integrales

Si \(0 \leq f(x) \leq g(x)\) para \(x \geq a\): - \(\int_a^\infty g(x)dx\) converge \(\implies \int_a^\infty f(x)dx\) converge - \(\int_a^\infty f(x)dx\) diverge \(\implies \int_a^\infty g(x)dx\) diverge

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# Visualización de integrales impropias
x1 = np.linspace(1, 10, 400)
x2 = np.linspace(0.1, 1, 400)

f1 = 1/x1**2  # Converge
f2 = 1/x1     # Diverge
f3 = 1/np.sqrt(x2)  # Converge en (0,1]

plt.figure(figsize=(15, 5))

plt.subplot(1, 3, 1)
plt.plot(x1, f1, 'b-', linewidth=2)
plt.fill_between(x1, f1, alpha=0.3)
plt.title(r'$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$ - CONVERGE')
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 3, 2)
plt.plot(x1, f2, 'r-', linewidth=2)
plt.fill_between(x1, f2, alpha=0.3)
plt.title(r'$\int_1^\infty \frac{1}{x}dx$ - DIVERGE')
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 3, 3)
plt.plot(x2, f3, 'g-', linewidth=2)
plt.fill_between(x2, f3, alpha=0.3)
plt.title(r'$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ - CONVERGE')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

5. Series de Potencias y Taylor

5.1. Series de Potencias

\[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\]

Radio de convergencia \(R\): - Por razón: \(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\) - Por raíz: \(R = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}\)

5.2. Series de Taylor y Maclaurin

Serie de Taylor en \(x=a\): $\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)$

Serie de Maclaurin (\(a=0\)): $\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)$

5.3. Series Importantes

Función Serie de Maclaurin Intervalo de Convergencia
\(e^x\) \(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\) \((-\infty, \infty)\)
\(\sin x\) \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) \((-\infty, \infty)\)
\(\cos x\) \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\) \((-\infty, \infty)\)
\(\frac{1}{1-x}\) \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) \((-1, 1)\) 
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# Aproximación de funciones con series de Taylor
def taylor_sin(x, n_terms):
    """Aproximación de sin(x) usando serie de Taylor"""
    result = 0
    for n in range(n_terms):
        term = ((-1)**n * x**(2*n + 1)) / np.math.factorial(2*n + 1)
        result += term
    return result

x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 400)
y_exact = np.sin(x)

plt.figure(figsize=(12, 8))
for i, n in enumerate([1, 3, 5, 7, 9]):
    y_approx = [taylor_sin(xi, n) for xi in x]
    plt.plot(x, y_approx, '--', linewidth=1.5, 
             label=f'Taylor n={n}')

plt.plot(x, y_exact, 'k-', linewidth=2, label='sin(x) exacto')
plt.title('Aproximación de sin(x) con Series de Taylor')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim(-2, 2)
plt.show()

6. Tablas Resumen de Convergencia

6.1. Criterios para Series

Criterio Condición Convergencia Condición Divergencia Comentarios
Término general - \(\lim a_n \neq 0\) Condición necesaria
Geométrica \(\|r\| < 1\) \(\|r\| \geq 1\) Suma: \(\frac{a}{1-r}\)
p-Series \(p > 1\) \(p \leq 1\) -
Integral \(\int_1^\infty f(x)dx\) converge \(\int_1^\infty f(x)dx\) diverge \(f\) decreciente
Razón \(L < 1\) \(L > 1\) \(L = \lim \|a_{n+1}/a_n\|\)
Raíz \(L < 1\) \(L > 1\) \(L = \lim \sqrt[n]{\|a_n\|}\)

6.2. Integrales Impropias Comunes

Integral Converge si Diverge si Valor (si converge)
\(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}dx\) \(p > 1\) \(p \leq 1\) \(\frac{1}{p-1}\)
\(\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx\) \(p < 1\) \(p \geq 1\) \(\frac{1}{1-p}\)
\(\int_0^\infty e^{-ax}dx\) \(a > 0\) \(a \leq 0\) \(\frac{1}{a}\)
\(\int_1^\infty \frac{1}{x(\ln x)^p}dx\) \(p > 1\) \(p \leq 1\) -

7. Aplicaciones y Ejemplos

7.1. Ejemplo: Convergencia de \(\sum \frac{1}{n^2}\)

Usando el criterio de la integral: $\(\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = 1\)$ Como la integral converge, la serie \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge.

7.2. Ejemplo: Radio de Convergencia

Para \(\sum \frac{x^n}{n}\): $\(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n} \right| = |x| \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = |x|\)$ Converge si \(|x| < 1\) (\(R = 1\))

7.3. Error en Aproximaciones de Taylor

Teorema del resto: $\(|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\)$ donde \(|f^{(n+1)}(t)| \leq M\) para \(t\) entre \(a\) y \(x\).

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# Error en aproximaciones de Taylor
x_values = np.linspace(0, np.pi, 100)
errors = []

for x in x_values:
    exact = np.sin(x)
    approx = taylor_sin(x, 3)  # 3 términos
    errors.append(abs(exact - approx))

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_values, errors, 'r-', linewidth=2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Error')
plt.title('Error en aproximación de sin(x) con 3 términos de Taylor')
plt.grid(True)
plt.show()

8. Teoremas Fundamentales Ampliados

8.1. Teorema del Valor Medio para Integrales

Si \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces \(\exists c \in [a,b]\) tal que: $\(f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx\)$

8.2. Teorema Fundamental del Cálculo (Ampliado)

  1. Primera parte: Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y \(F(x) = \int_a^x f(t)dt\), entonces \(F'(x) = f(x)\)
  2. Segunda parte: \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\) donde \(F' = f\)

8.3. Teorema de Convergencia Dominada

Si \(f_n \to f\) punto por punto y \(|f_n| \leq g\) integrable, entonces: $\(\lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f\)$

9. Técnicas Avanzadas de Integración

9.1. Integración por Partes (Generalizada)

\[\int u dv = uv - \int v du$$ $$\int u^{(n)} v dx = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k u^{(n-k-1)} v^{(k)} + (-1)^n \int u v^{(n)} dx\]

9.2. Sustituciones Trigonométricas (Ampliadas)

Expresión Sustitución Identidad
\(\sqrt{a^2 - x^2}\) \(x = a\sin\theta\) \(1 - \sin^2 = \cos^2\)
\(\sqrt{a^2 + x^2}\) \(x = a\tan\theta\) \(1 + \tan^2 = \sec^2\)
\(\sqrt{x^2 - a^2}\) \(x = a\sec\theta\) \(\sec^2 - 1 = \tan^2\)

10. extras

\[ \frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)},\quad \deg(R) < \deg(D) \]
\[ \frac{P(x)}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} \]
\[ \text{Si la integral contiene:} \begin{cases} \sqrt{a^2 - x^2} \Rightarrow x = a\sin\theta \\ \sqrt{a^2 + x^2} \Rightarrow x = a\tan\theta \\ \sqrt{x^2 - a^2} \Rightarrow x = a\sec\theta \\ \end{cases} \]
\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \]

$$ \begin{cases} \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \ \cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \ \tan^2x = \sec^2x - 1 \ \sec^2x = 1 + \tan^2x \ \end{cases} $$ Fracciones parciales (formas simples y complejas)#### Fracciones parciales (formas simples y complejas)

$$ \text{Si } \frac{P(x)}{Q(x)},\ \deg(P) < \deg(Q) \Rightarrow \text{descomponer según los factores de } Q(x):

\textbf{1. Factores lineales distintos:} $$ $$ \frac{P(x)}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} $$ $$ \textbf{2. Factor lineal repetido:} $$

\[ \frac{P(x)}{(x - a)^n} = \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x - a)^n} $$ $$ \textbf{3. Factor cuadrático irreducible:} $$ $$ ∫sec3xdx \frac{P(x)}{(x^2 + a)} = \frac{Ax + B}{x^2 + a} $$ $$ \textbf{4. Factor cuadrático irreducible repetido:} $$ $$ \frac{P(x)}{(x^2 + a)^n} = \frac{A_1x + B_1}{x^2 + a} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + a)^2} + \dots + \frac{A_nx + B_n}{(x^2 + a)^n} \]