Trigonometría

1.1 Círculo Unitario y Coordenadas

Definición del círculo unitario: ...

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

Coordenadas de puntos importantes:

$(1, 0)$: $\theta = 0$ o $2\pi$
$(0, 1)$: $\theta = \frac{\pi}{2}$
$(-1, 0)$: $\theta = \pi$
$(0, -1)$: $\theta = \frac{3\pi}{2}$

1.2 Triángulo Rectángulo en el Círculo Unitario

Para un ángulo θ en posición estándar: - sen θ = coordenada y del punto de intersección - cos θ = coordenada x del punto de intersección - tan θ = pendiente de la línea terminal

Relaciones en el triángulo rectángulo:

\[ \sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]

1.3 Funciones Trigonométricas - Gráficas

Las funciones trigonométricas son periódicas: - seno y coseno: período $2\pi$ - tangente: período $\pi$

1.4 Cuadrantes y Signos

Regla de signos por cuadrante:

Cuadrante Ángulo (rad) sen cos tan

I $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ + + +
II $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ + - -
III $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ - - +
IV $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ - + -

Mnemotécnico: "All Students Take Calculus" - All: Todas son positivas en el cuadrante I - Students: Seno positivo en el cuadrante II - Take: Tangente positiva en el cuadrante III - Calculus: Coseno positivo en el cuadrante IV

1.5 Identidades Trigonométricas Esenciales

1.5.1 Identidades Pitagóricas

\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \]

\[ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \]

\[ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \]

1.5.2 Fórmulas de Suma y Diferencia

\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \]

\[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \]

\[ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} \]

1.5.3 Fórmulas de Ángulo Doble

\[ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \]

\[ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta \]

\[ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \]

1.6 Leyes de Triángulos

1.6.1 Ley de Senos

Para cualquier triángulo con lados $a, b, c$ y ángulos opuestos $A, B, C$:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$ donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita.

1.6.2 Ley de Cosenos

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \]

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \]

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \]

RESUMEN DE FÓRMULAS

Trigonometría:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
Ley de senos: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Ley de cosenos: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$